Monte Carlo Simulation mit GBM Eine der häufigsten Möglichkeiten zur Risikoabschätzung ist die Verwendung einer Monte-Carlo-Simulation (MCS). Um beispielsweise den Value at Risk (VaR) eines Portfolios zu berechnen, können wir eine Monte-Carlo-Simulation durchführen, die versucht, den wahrscheinlichsten Verlust eines Portfolios mit einem Konfidenzintervall über einen bestimmten Zeithorizont vorauszusagen Bedingungen für das VaR: Vertrauen und Horizont. (VAR) - Teil 1 und Teil 2.) In diesem Artikel werden wir eine grundlegende MCS auf einen Aktienkurs angewendet zu überprüfen. (Lesen Sie weiter, die Verwendung und Grenzen der Volatilität und Einführung in Value at Risk (VAR) Wir brauchen ein Modell, um das Verhalten des Aktienkurses festzulegen, und verwenden Sie eines der gebräuchlichsten Modelle in der Finanzierung: geometrische Brownsche Bewegung (GBM). Während die Monte-Carlo-Simulation auf ein Universum unterschiedlicher Ansätze zur Simulation verweisen kann, werden wir hier mit den einfachsten beginnen. Wo man anfängt Eine Monte-Carlo-Simulation ist ein Versuch, die Zukunft um ein Vielfaches vorauszusagen. Am Ende der Simulation, Tausende oder Millionen von zufälligen Versuche produzieren eine Verteilung der Ergebnisse, die analysiert werden können. Die grundlegenden Schritte sind: 1. Spezifizieren Sie ein Modell (zB geometrische Brownsche Bewegung) 2. Generieren Sie zufällige Versuche 3. Verarbeiten Sie die Ausgabe 1. Geben Sie ein Modell (zB GBM) In diesem Artikel verwenden wir die geometrische Brownsche Bewegung (GBM) Was technisch ein Markov-Prozess ist. Dies bedeutet, dass der Aktienkurs einer zufälligen Wanderung folgt und mit (zumindest) der schwachen Form der effizienten Markthypothese (EMH) übereinstimmt: Vergangene Kursinformationen sind bereits integriert und die nächste Kursbewegung ist bedingt unabhängig von vergangenen Kursbewegungen . (Für mehr über EMH, lesen Sie Arbeiten durch die effiziente Markt-Hypothese und was ist Markt-Effizienz) Die Formel für GBM ist unten, wo S ist der Aktienkurs, m (die griechische mu) ist die erwartete Rendite. S (griechisches Sigma) ist die Standardabweichung von Renditen, t ist Zeit und e (griech. Epsilon) ist die Zufallsvariable. Wenn wir die Formel neu anordnen, um nur für die Änderung des Aktienkurses zu lösen, sehen wir, dass GMB sagt, dass die Änderung des Aktienkurses der Aktienkurs S multipliziert mit den beiden Begriffen innerhalb der Klammer unten ist: Der erste Begriff ist eine Drift und die zweite Begriff ist ein Schock. Für jeden Zeitraum geht unser Modell davon aus, dass der Preis durch die erwartete Rendite driftet. Aber die Drift wird schockiert (addiert oder subtrahiert) durch einen zufälligen Schock. Der Zufallsschock wird die Standardabweichung s multipliziert mit einer Zufallszahl e sein. Dies ist einfach eine Möglichkeit, die Standardabweichung zu skalieren. Das ist das Wesen von GBM, wie in Abbildung 1 dargestellt. Der Aktienkurs folgt einer Reihe von Schritten, wobei jeder Schritt ein Drift plus / minus ein zufälliger Schock ist (selbst eine Funktion der Standard-Standardabweichung): Simulieren Sie geometrische Brownsche Bewegung mit Excel Erfahren Sie mehr über Geometrische Brown'sche Bewegung und laden Sie eine Tabelle herunter. Die Kurse werden oft als Summe der deterministischen Drift oder Wachstumsrate und einer Zufallszahl mit einem Mittelwert von 0 und einer Varianz modelliert, die proportional zu dt ist. Dies wird als geometrisches Brownian bezeichnet Motion, und ist häufig Modell, um Aktienkurs Wege zu definieren. Sie wird durch die folgende stochastische Differentialgleichung definiert. S t ist der Aktienkurs zum Zeitpunkt t, dt ist der Zeitschritt, ist die Drift, ist die Volatilität, W t ist ein Weiner-Prozess und ist eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von Null und Standardabweichung von einem. Durch Einsetzen von Gleichung 2 in Gleichung 1 ergibt sich dS t die Summe aus einem allgemeinen Trend und einem Begriff, der Unsicherheit darstellt. Simulation geometrischer Brown'scher Bewegungen in Excel Umformung von Gleichung 3 in endliche Differenzenform gibt Bear im Auge, die eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von Null und Standardabweichung von eins ist. Dies kann in Excel von NORM. INV (RAND (), 0,1) dargestellt werden. Die Kalkulationstafel verknüpft an an der Unterseite dieses Pfostens implementiert Geometrische Brownsche Bewegung in Excel unter Verwendung der Gleichung 4. 5 Gedanken auf ldquo Simulieren Sie Geometrische Brownan Bewegung mit Excel rdquo Wie die freien Spreadsheets Meisterwissenbasis Neue Pfosten Ich möchte Aktienkurswege mit verschiedenen stochastischen Prozessen simulieren . Ich begann mit der berühmten geometrischen braunen Bewegung. Ich habe die Werte mit der folgenden Formel simuliert: Rifrac - Si mu Delta t sigma varphi sqrt mu Stichprobe Sigma Beispiel Volatilität Delta t 1 (1 Tag) varphi normal verteilte Zufallszahl Ich benutzte eine kurze Art der Simulation: Simuliere normal verteilte Zufallszahlen mit Stichprobenmittelwert und Stichprobenstandardabweichung. Multiplizieren Sie dies mit dem Aktienkurs, das gibt die Preiserhöhung. Berechnen Sie die Summe aus Preissteigerung und Aktienkurs, und dies ergibt den simulierten Aktienkurswert. (Diese Methode finden Sie hier) So dachte ich, dass ich dies verstanden, aber jetzt habe ich die folgende Formel gefunden. Die auch die geometrische Brownsche Bewegung ist: St S0 expleftleft (mu - frac rechts) t sigma Wt rechts Ich verstehe den Unterschied nicht Was bedeutet die zweite Formel sagt im Vergleich zum ersten Soll ich den zweiten genommen haben Wie soll ich mit simulieren Die zweite Formel Zur Ergänzung SRKX Kommentar, krank versuchen, die einfache mathematische Beweis zwischen beiden Formel zu erklären. Ich nehme an, Sie kennen die geometrische oder arithmetische braune Bewegung: Geometrisch: beginnen dS mu S dt sigma Sdz Ende Arithmetik. Beginnen dS mu dt sigma dz Ende Dann ist ein weiteres wichtiges stochastisches Werkzeug, das Sie wissen müssen, das so genannte Ito Lemma. Locker gesprochen, wenn eine Zufallsvariable x einem Ito-Prozess folgt. (Drift a (x, t) et Varianz b (x, t)): Wenn wir x durch den Aktienkurs ersetzen und seinen Logarithmus nehmen: G ln (S). Wir wissen es auch. Beginnen dS mu S dt sigma Sdz enden dann ein mu S et b sigma S und beginnen frac frac, frac G - frac, frac 0 end mit Ito Lemma. Wenn wir die Abweichung von ln (S) (G) zwischen dem Datum Null und dem Datum T untersuchen, beginnen wir ln (S) - ln (S) sim phi (mu - frac) T , Sigma sqrt Ende beginnen ln (S) sim philn (S) (mu - frac) T, sigma sqrt end Wenn wir integrieren. S (t) S (0) exp) t Sigma (z (t) - z (0)) Ende oder Anfang S (t) S (0) exp B Ende, wobei B eine braune Bewegung ist. Sie werden nicht die gleichen sein. Wenn Sie eine diskrete Simulation durchführen, erhalten Sie die tatsächliche (oder eine Instanz eines tatsächlichen Pfads) Preisprozesses für den zukünftigen Wert der Aktie mit dem realen Wahrscheinlichkeitsmaß. Wenn Sie die gleiche Sache mit der geschlossenen Formular-Lösung zu tun, wird der Weg sehr ähnlich aussehen, sondern nach unten driften. Warum sind sie unterschiedlich, um es leicht zu sehen, erstellen Sie ein Tabellenkalkulationsmodell mit einem Diagramm, das sowohl den realen als auch den modellierten Pfad zeigt (letzteres ist das mit e. Dann stecken Sie vielleicht 5 für r (oder mu, sie sind die gleichen) (Sigma0) ist der Pfad nur StB0e, wobei B0 der Preis der Anleihe zum Zeitpunkt t0 ist. Sie driftet in Wert um die risikofreie Rate zurückzugeben Aber mit sigma40 wird der modellierte Preisprozess für eine Aktie, die ab dem Kurs B0 beginnt, nach unten driften. Der gesamte Punkt einer risikoneutralen Maßnahme und eines Modells ist, dass Sie zukünftige Beträge abbilden Die risikoneutral oder risikofrei, Rate. Es macht nicht, dass echte, oder machen die Aktien erwartet, dass die Rückgabe der gleichen wie eine Anleihe. Es macht es nur konsistent. So stellen Sie sich eine Aktie mit einem Anfangspreis von S0.Wenn die Aktie Hat ein höheres Risiko als die Anleihe (die es haben muss) und Investoren im Gleichgewicht haben den Preis auf einen Punkt, so dass es erwartet wird, um eine Rendite höher als die Anleihe zum Ausgleich des Risikos haben, muss es sein, dass die Aktie ist a Wenn die Anleger erwarten, dass der zukünftige Wert gleich ist. Also, wenn die Anleger erwarten B S dann S0ltB0. Im Wesentlichen wird die Aktie heute mit einem Abschlag auf die Anleihe bewertet. Die geschlossene Lösung macht alles im risikofreien Raum. Wenn wir also mit S0B0 beginnen, muss die Bondtrajektorie des Preises Bt auf den B0 zurückgreifen, wenn der risikofreie Satz verwendet wird. Infolgedessen muss der künftige Wert der Aktie zugleich unter Bt liegen, sodass er zu einem niedrigeren Wert bei t0 unter Verwendung von r als Diskontsatz diskontiert, um eine Rendite zu erzielen, die das Risiko kompensiert. Einfach, wenn Sie rollen eine Simulation die Aktie übertrifft die Anleihe im Durchschnitt, aber wenn Sie ein Preismodell unter Risiko-Neutralität sehen, muss der Pfad so sein, dass, wenn Sie zukünftige Werte bis heute abrechnen müssen sie Ihnen einen fairen Wert heute für Die Bestände. Dies ist ein bisschen mathematische Sleight der Hand, aber es funktioniert alles das gleiche. Wenn z. B. B0100 und R5 der künftige Wert der Anleihe in einem Jahr 105 ist und ihr gegenwärtiger Wert 100 ist. Aber der zukünftige Wert der Aktie muss wie eine kleinere Zahl aussehen (etwa 94), so dass Der Preis heute, S0, ist vielleicht 89 oder einige solcher. Die geschlossene Formularlösung gibt Ihnen nicht das tatsächliche Preismodell. Es gibt Ihnen ein künftiges Preismodell, das Ihnen erlaubt, eine Aktie zu bewerten, als könnte der risikofreie Zinssatz verwendet werden, um den zukünftigen Wert zu diskontieren, um den richtigen Barwert zu erhalten. Sie sind wirklich das gleiche Modell nur anders ausgedrückt.
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